Векторная сумма всех сил действующих на тело. Формула равнодействующей силы

Как происходит сложение векторов, не всегда понятно ученикам. Дети не представляют того, что за ними скрывается. Приходится просто запоминать правила, а не вдумываться в суть. Поэтому именно о принципах сложения и вычитания векторных величин требуется много знаний.

В результате сложения двух и более векторов всегда получается еще один. Причем он всегда обязательно будет одинаковым, независимо от приема его нахождения.

Чаще всего в школьном курсе геометрии рассматривается сложение двух векторов. Оно может быть выполнено по правилу треугольника или параллелограмма. Эти рисунки выглядят по-разному, но результат от действия один.

Как происходит сложение по правилу треугольника?

Оно применяется тогда, когда векторы неколлинеарные. То есть не лежат на одной прямой или на параллельных.

В этом случае от некоторой произвольной точки нужно отложить первый вектор. Из его конца требуется провести параллельный и равный второму. Результатом станет вектор, исходящий из начала первого и завершающийся в конце второго. Рисунок напоминает треугольник. Отсюда и название правила.

Если векторы коллинеарные, то это правило тоже можно применять. Только рисунок будет расположен вдоль одной линии.

Как выполняется сложение по правилу параллелограмма?

Опять же? применяется только для неколлинеарных векторов. Построение выполняется по другому принципу. Хотя начало такое же. Нужно отложить первый вектор. И от его начала - второй. На их основе достроить параллелограмм и провести диагональ из начала обоих векторов. Она и будет результатом. Так выполняется сложение векторов по правилу параллелограмма.

До сих пор их было два. А как быть, если их 3 или 10? Использовать следующий прием.

Как и когда применяется правило многоугольника?

Если требуется выполнить сложение векторов, число которых — больше двух, пугаться не стоит. Достаточно последовательно отложить их все и соединить начало цепочки с ее концом. Этот вектор и будет искомой суммой.

Какие свойства действительны для действий с векторами?

О нулевом векторе. Которое утверждает, что при сложении с ним получается исходный.

О противоположном векторе. То есть о таком, который имеет противоположное направление и равное по модулю значение. Их сумма будет равна нулю.

О коммутативности сложения. То, что известно еще с начальной школы. Смена мест слагаемых не приводит к изменению результата. Другими словами, неважно какой вектор откладывать сначала. Ответ все равно будет верным и единственным.

Об ассоциативности сложения. Этот закон позволяет складывать попарно любые векторы из тройки и к ним прибавлять третий. Если записать это с помощью знаков, то получится следующее:

первый + (второй + третий) = второй + (первый + третий) = третий + (первый + второй).

Что известно о разности векторов?

Отдельной операции вычитания не существует. Это связано с тем, что оно, по сути, является сложением. Только второму из них задается противоположное направление. А потом все выполняется так, как если бы рассматривалось сложение векторов. Поэтому об их разности практически не говорят.

Для того чтобы упростить работу с их вычитанием, видоизменено правило треугольника. Теперь (при вычитании) второй вектор нужно отложить из начала первого. Ответом будет тот, что соединяет конечную точку уменьшаемого с ней же вычитаемого. Хотя можно и откладывать так, как было описано ранее, просто изменив направление второго.

Как найти сумму и разность векторов в координатах?

В задаче даны координаты векторов и требуется узнать их значения для итогового. При этом построений выполнять не нужно. То есть можно воспользоваться несложными формулами, которые описывают правило сложения векторов. Они выглядят так:

а (х, у, z) + в (k, l, m) = с (х+k, y+l, z+m);

а (х, у, z) -в (k, l, m) = с (х-k, y-l, z-m).

Легко заметить, что координаты нужно просто сложить или вычесть в зависимости от конкретного задания.

Первый пример с решением

Условие. Дан прямоугольник АВСД. Его стороны равны 6 и 8 см. Точка пересечения диагоналей обозначена буквой О. Требуется вычислить разность векторов АО и ВО.

Решение. Сначала нужно изобразить эти векторы. Они направлены от вершин прямоугольника к точке пересечения диагоналей.

Если внимательно посмотреть на чертеж, то можно увидеть, что векторы уже совмещены так, чтобы второй из них соприкасался с концом первого. Вот только его направление неверное. Он должен из этой точки начинаться. Это если векторы складываются, а в задаче — вычитание. Стоп. Это действие означает, что нужно прибавить противоположно направленный вектор. Значит, ВО нужно заменить на ОВ. И получится, что два вектора уже образовали пару сторон из правила треугольника. Поэтому результат от их сложения, то есть искомая разность, — вектор АВ.

А он совпадает со стороной прямоугольника. Для того чтобы записать числовой ответ, потребуется следующее. Начертить прямоугольник вдоль так, чтобы большая сторона шла горизонтально. Нумерацию вершин начинать с левой нижней и идти против часовой стрелки. Тогда длина вектора АВ будет равна 8 см.

Ответ. Разность АО и ВО равна 8 см.

Второй пример и его подробное решение

Условие. У ромба АВСД диагонали равны 12 и 16 см. Точка их пересечения обозначена буквой О. Вычислите длину вектора, образованного разностью векторов АО и ВО.

Решение. Пусть обозначение вершин ромба будет таким же, как в предыдущей задаче. Аналогично решению первого примера получается, что искомая разность равна вектору АВ. А его длина неизвестна. Решение задачи свелось к тому, чтобы вычислить одну из сторон ромба.

Для этой цели потребуется рассмотреть треугольник АВО. Он прямоугольный, потому что диагонали ромба пересекаются под углом в 90 градусов. А его катеты равны половинам диагоналей. То есть 6 и 8 см. Искомая в задаче сторона совпадает с гипотенузой в этом треугольнике.

Для ее нахождения потребуется теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы будет равен сумме чисел 6 2 и 8 2 . После возведения в квадрат получатся значения: 36 и 64. Их сумма — 100. Отсюда следует, что гипотенуза равна 10 см.

Ответ. Разность векторов АО и ВО составляет 10 см.

Третий пример с детальным решением

Условие. Вычислить разность и сумму двух векторов. Известны их координаты: у первого — 1 и 2, у второго — 4 и 8.

Решение. Для нахождения суммы потребуется сложить попарно первые и вторые координаты. Результатом будут числа 5 и 10. Ответом будет вектор с координатами (5; 10).

Для разности нужно выполнить вычитание координат. После выполнения этого действия получатся числа -3 и -6. Они и будут координатами искомого вектора.

Ответ. Сумма векторов — (5; 10), их разность — (-3; -6).

Четвертый пример

Условие. Длина вектора АВ равна 6 см, ВС — 8 см. Второй отложен от конца первого под углом в 90 градусов. Вычислить: а) разность модулей векторов ВА и ВС и модуль разности ВА и ВС; б) сумму этих же модулей и модуль суммы.

Решение: а) Длины векторов уже даны в задаче. Поэтому вычислить их разность не составит труда. 6 - 8 = -2. Несколько сложнее обстоит дело с модулем разности. Сначала нужно узнать, какой вектор будет являться результатом вычитания. Для этой цели следует отложить вектор ВА, который направлен в противоположную сторону АВ. Потом от его конца провести вектор ВС, направив его в сторону, противоположную исходному. Результатом вычитания получится вектор СА. Его модуль можно вычислить по теореме Пифагора. Несложные вычисления приводят к значению 10 см.

б) Сумма модулей векторов получается равной 14 см. Для поиска второго ответа потребуется некоторое преобразование. Вектор ВА противоположно направлен тому, который дан — АВ. Оба вектора направлены из одной точки. В этой ситуации можно использовать правило параллелограмма. Результатом сложения будет диагональ, причем не просто параллелограмма, а прямоугольника. Его диагонали равны, значит, модуль суммы такой же, как в предыдущем пункте.

Ответ: а) -2 и 10 см; б) 14 и 10 см.

При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся вектор ной суммой ускорений, которые бы возникли под действием каждой силы в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно действующих на тело, называется равнодействующей силой и определяется правилом векторного сложения сил: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+\dots +{\overrightarrow{F}}_n=\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}$.

Равнодействующая сила оказывает на тело такое же действие, как сумма всех приложенных к нему сил.

Для сложения двух сил используется правило параллелограмма (рис.1):

Рисунок 1. Сложение двух сил по правилу параллелограмма

При этом модуль суммы двух сил находим по теореме косинусов:

\[\left|\overrightarrow{R}\right|=\sqrt{{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2{cos \alpha \ }}\]

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника:~ из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы -- вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее.

Рисунок 2. Сложение сил по правилу многоугольника

Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.2 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей~~четырёх сил ${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2,{\overrightarrow{F}}_3,{\overrightarrow{F}}_4$. Заметим, что при этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку зависит только от ее модуля и направления. Твердое же тело имеет определенные размеры. Поэтому одинаковые по модулю и направлению силы вызывают различные движения твердого тела в зависимости от точки приложения. Прямая, проходящая через вектор силы, называется линией действия силы.

Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к разным точкам тела

Если силы приложены к разным точкам тела и действуют не параллельно друг другу, то равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рис.3).

Точка находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю: $\sum^n_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}=\overrightarrow{0}$. В этом случае равна нулю и сумма проекций этих сил на любую ось координат.

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят, как и их сложение, по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

1. направления обеих составляющих сил;
2. модуль и направление одной из составляющих сил;
3. модули обеих составляющих сил.

Пусть, например, мы хотим разложить силу $F$ на две составляющие, лежащие в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых а и b (рис.4). Для этого достаточно из конца вектора, изображающего F, провести две прямые, параллельные a и b. Отрезки $F_A$ и $F_B$ изобразят искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Другой вариант этой задачи - нахождение одной из проекций вектора силы по заданным векторам силы и второй проекции. (рис.5 а).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Задача сводится к построению параллелограмма по диагонали и одной из сторон, известному из планиметрии. На рис.5б построен такой параллелограмм и указана искомая составляющая ${\overrightarrow{F}}_2$ силы ${\overrightarrow{F}}$.

Второй способ решения: прибавить к силе силу, равную - ${\overrightarrow{F}}_1$ (рис.5в).В результате получим искомую силу ${\overrightarrow{F}}_2$.

Три силы~${\overrightarrow{F}}_1=1\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_2=2\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_3=3\ Н$ приложены к одной точке, лежат в одной плоскости (рис.6 а) и составляют углы~ с~ горизонталью $\alpha =0{}^\circ ;;\beta =60{}^\circ ;;\gamma =30{}^\circ $соответственно. Найдите равнодействующую этих сил.

Проведём две взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY так, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила ${\overrightarrow{F}}_1$. Спроецируем данные силы на оси координат (рис.6 б). Проекции $F_{2y}$ и $F_{2x}$ отрицательны. Сумма проекций сил на ось ОХ равна проекции на эту ось равнодействующей: $F_1+F_2{cos \beta \ }-F_3{cos \gamma \ }=F_x=\frac{4-3\sqrt{3}}{2}\approx -0.6\ H$. Аналогично, для проекций на ось OY: $-F_2{sin \beta \ }+F_3{sin \gamma =F_y=\ }\frac{3-2\sqrt{3}}{2}\approx -0.2\ H$. Модуль равнодействующей определяется по теореме Пифагора: $F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{0.36+0.04}\approx 0,64\ Н$. Направление равнодействующей определим с помощью угла между равнодействующей и осью (рис.6 в): $tg\varphi =\frac{F_y}{F_x}=\ \frac{3-2\sqrt{3}}{4-3\sqrt{3}}\approx 0.4$

Сила $F = 1kH$ приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рис.7а). Найдите составляющие этой силы по направлениям стержней кронштейна. Необходимые данные указаны на рисунке.

F = 1 кН = 1000Н

${\mathbf \beta }$ = $30^{\circ}$

${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2$ - ?

Пусть стержни прикреплены к стене в точках A и C. Разложение силы ${\overrightarrow{F}}$ на составляющие вдоль направлений АВ и ВС представлено на рис.7б. Откуда видно, что $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F{cos \beta \ }\approx 1155\ H. \]

Ответ: $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|$=577 Н; $\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=1155\ Н$

Это векторная сумма всех сил, действующих на тело.

Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Взаимосвязь со вторым законом Ньютона

Вспомним закон Ньютона:

Равнодействующая сила может быть равна нулю в том случае, когда одна сила компенсируется другой, такой же силой, но противоположной по направлению. В этом случае тело находится в покое или движется равномерно.

Если равнодействующая сила НЕ равна нулю, то тело движется равноускоренно . Собственно именно эта сила является причиной неравномерного движения. Направление равнодействующей силы всегда совпадает по направлению с вектором ускорения.

Когда требуется изобразить силы, действующие на тело, при этом тело движется равноускоренно, значит в направлении ускорения действующая сила длиннее противоположной. Если тело движется равномерно или покоится длина векторов сил одинаковая.

Нахождение равнодействующей силы

Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы , действующие на тело; затем изобразить координатные оси , выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения. Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.

Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.

Примеры

На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.

Обозначим силы, выберем координатные оси

Найдем проекции

Записываем уравнения

Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Главное запомнить

1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил

Блок - механическое устройство, колесо, вращающееся вокруг своей оси. Блоки могут быть подвижными и неподвижными.

Неподвижный блок используется лишь для изменения направления силы.

Тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по величине ускорения.

Подвижный блок предназначен для изменения величины прилагаемых усилий. Если концы веревки, обхватывающей блок, составляют с горизонтом равные между собой углы, то для подъёма груза потребуется сила вдвое меньше, чем вес груза. Действующая на груз сила относится к его весу, как радиус блока к хорде дуги, обхваченной канатом.

Ускорение тела А в два раза меньше ускорения тела В.

Фактически, любой блок представляет собой рычаг , в случае неподвижного блока - равноплечий, в случае подвижного - с соотношением плеч 1 к 2. Как и для всякого другого рычага, для блока справедливо правило: во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии

Также используется система, состоящая из комбинации нескольких подвижных и неподвижных блоков. Такая система называется полиспаст.

Механическое действие тел друг на друга всегда является их взаимодействием.

Если тело 1 действует на тело 2, то при этом обязательно тело 2 действует на тело 1.

Например ,на ведущие колеса электровоза (рис.2.3) действуют со стороны рельсов силы трения покоя, направленные в сторону движения электровоза. Сумма этих сил и есть сила тяги электровоза. В свою очередь, ведущие колеса действуют на рельсы силами трения покоя, направленными в противоположную сторону .

Количественное описание механического взаимодействия было дано Ньютоном в его третьем законе динамики.

Для материальных точек этот закон формулируется так:

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными противоположно по прямой, соединяющей эти точки (рис.2.4):
.

Третий закон справедлив не всегда.

Выполняется строго

в случае контактных взаимодействий,

при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

Перейдем от динамики отдельной материальной точки к динамике механической системы, состоящей из материальных точек.

Для -той материальной точки системы, согласно второму закону Ньютона (2.5), имеем:

. (2.6)

Здесь и - масса и скорость-той материальной точки, - сумма всех действующих на нее сил.

Силы, действующие на механическую систему, делятся на внешние и внутренние. Внешние силы действуют на точки механической системы со стороны других, внешних тел.

Внутренние силы действуют между точками самой системы .

Тогда силу в выражении (2.6) можно представить в виде суммы внешних и внутренних сил:

, (2.7)

где
– результирующая всех внешних сил, действующих на -тую точку системы ; - внутренняя сила, действующая на эту точку со стороны -й .

Подставим выражение (2.7) в (2.6):

, (2.8)

просуммировав левые и правые части уравнений (2.8), записанных для всех материальных точек системы, получаем

. (2.9)

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия -той и -й точек системы равны по модулю и противоположны по направлению
.

Поэтому сумма всех внутренних сил в уравнении (2.9) равна нулю:

. (2.10)

Векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, называется главным вектором внешних сил

. (2.11)

Поменяв в выражении (2.9) местами операции суммирования и дифференцирования и учитывая результаты (2.10) и (2.11), а также определение импульса механической системы (2.3), получаем

- основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела.

Это уравнение выражает закон изменения импульса механической системы : производная по времени от импульса механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

2.6. Центр масс и закон его движения.

Центром масс (инерции) механической системы называется точка , радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на их радиус-векторы к массе всей системы:

(2.12)

где и - масса и радиус-вектор-той материальной точки, -общее число этих точек,
–суммарная масса системы.

Если радиус- векторы проведены из центра масс , то
.

Таким образом, центр масс – это геометрическая точка , для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.

В случае непрерывного распределения массы в системе (в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы:

,

где r – радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна dm , интегрирование проводится по всем элементам системы, т.е. по всей массе m.

Продифференцировав формулу (2.12) по времени, получаем

выражение для скорости центра масс :

Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой системы к её массе.

Тогда импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс:

.

Подставив это выражение в основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела, имеем:

(2.13)

- центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложенных к системе внешних сил.

Уравнение (2.13) показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Если механическая система замкнутая, то
и скорость центра масс не изменяется с течением времени.

Таким образом, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета. Это означает, что с центром масс можно связать систему отсчета, и эта система будет инерциальной.

В соответствии с первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета тело может изменять свою скорость только, если на него действуют другие тела. Количественно взаимное действие тел друг на друга выражают с помощью такой физической величины, как сила (). Сила может изменять скорость тела, как по модулю, так и по направлению. Сила является векторной величиной, у нее есть модуль (величина) и направление. Направление равнодействующей силы определяет направление вектора ускорения тела, на которое действует рассматриваемая сила.

Основной закон, при помощи которого определяют направление и величину равнодействующей силы - это второй закон Ньютона:

где m - масса тела, на которое действует сила ; - ускорение, которое сила сообщает рассматриваемому телу. Сущность второго закона Ньютона состоит в том, что силы, которые действуют на тело, определяют изменение скорости тела, а не просто его скорость. Необходимо помнить, что второй закон Ньютона работает для инерциальных систем отсчета.

В том случае, если на тело действует несколько сил, то их совместное действие характеризуют при помощи равнодействующей силы. Допустим, что на тело действует одновременно несколько сил, при этом тело перемещается с ускорением, равным векторной сумме ускорений, которые появились бы при воздействии каждой из сил в отдельности. Силы, действующие на тело, и приложенные к одной его точке необходимо складывать по правилу сложения векторов. Векторная сумма всех сил, действующих на тело в один момент времени, называется равнодействующей силой ():

При действии на тело нескольких сил, второй закон Ньютона записывают как:

Равнодействующая всех сил, действующих на тело, может быть равна нулю, в том случае, если происходит взаимная компенсация сил, приложенных к телу. В таком случае тело движется с постоянной скоростью или находится в покое.

При изображении сил, действующих на тело, на чертеже, в случае равноускоренного перемещения тела, равнодействующую силу, направленную по ускорению следует изображать длиннее, чем противоположно ей направленную силу (сумму сил). В случае равномерного движения (или покоя) дина векторов сил, направленных в противоположные стороны одинакова.

Для нахождения равнодействующей силы, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Примеры решения задач по теме «Равнодействующая сила»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2