Закон распределения вероятности величины интервала. Типовые дискретные распределения случайных величин

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка р = ½. Он называется медианой (случайной величины Х или ее функции распределения F(x)) и обозначается Me(X). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно в x 0,5 ) равны между собой и равны ½, т.е.

P (X < x 0,5) = P (X > x 0,5) = ½.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций – теории устойчивых статистических процедур – медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием – нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода – значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если x 0 – мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно из дифференциального исчисления, .

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что a < x < b , является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

являющемуся аналогом формулы (5) из утверждения 2 главы «События и вероятности».

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины Х равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик – математическое ожидание, медиана, мода – описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами – отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений – симметричных унимодальных – все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) – плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

. (3)

Равенство (3) означает, что график функции y = f(x) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х 0 = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х , достаточно иметь таблицы при x > x 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

P(|X|< a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

где F – функция распределения случайной величины Х . Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

P(|X|< a) = 2F(a) – 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

.

Если и - квантили порядка и соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения – математического ожидания, медианы, моды – перейдем к характеристикам разброса случайной величины Х : дисперсии , среднему квадратическому отклонению и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение – это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при M(X)> 0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение – в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины Х найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где c = (b – a )/ 2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине Х определяют еще три величины – центрированную Y , нормированную V и приведенную U . Центрированная случайная величина Y – это разность между данной случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = Х – М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия – дисперсии данной случайной величины: М(Y ) = 0, D (Y ) = D (X ). Функция распределения F Y (x ) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F (x ) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x ) = F (x + M (X )).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x ) = f (x + M (X )).

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению , т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики Х так:

,

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины Х . Для функции распределения F V (x ) и плотности f V (x ) нормированной случайной величины V имеем:

где F (x ) – функция распределения исходной случайной величины Х , а f (x ) – ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U – это центрированная и нормированная случайная величина:

.

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y = aX + b , где a и b – некоторые числа, то

Пример 7. Если то Y – приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной Х можно связать множество случайных величин Y , заданных формулой Y = aX + b при различных a > 0 и b . Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством , порожденным случайной величиной Х . Функции распределения F Y (x ) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F (x ). Вместо Y = aX + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х – результат измерения некоторой величины – переходит в У – результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с , а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение Х называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины Х рассматривают Y = lg X , где lg X – десятичный логарифм числа Х . Цепочка равенств

F Y (x) = P(lg X < x) = P(X < 10 x) = F(10 x)

связывает функции распределения Х и Y .

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины Х как моменты порядка q , т.е. математические ожидания случайной величины X q , q = 1, 2, … Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q , в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q , задаваемых формулой

Так, дисперсия – это центральный момент порядка 2.

Нормальное распределение и центральная предельная теорема. В вероятностно-статистических методах принятия решений часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть X 1 , X 2 ,…, X n M (X i ) = m и дисперсиями D (X i ) = , i = 1, 2,…, n ,… Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную случайную величину U n для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), M (U n ) = 0, D (U n ) = 1.

(для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X 1 , X 2 ,…, X n , …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M (X i ) = m и дисперсиями D (X i ) = , i = 1, 2,…, n ,… Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра-Лапласа), до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.

Функция распределения Ф(х) задается равенством

,

где - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

.

Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым .

Вид плотности стандартного нормального распределения вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.

Таблица 2.

Функция стандартного нормального распределения.

Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D (X ) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины U n , что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения U n стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем при любом х .

Таблица 3.

Квантили стандартного нормального распределения.

Введем понятие семейства нормальных распределений. По определению нормальным распределением называется распределение случайной величины Х , для которой распределение приведенной случайной величины есть Ф(х). Как следует из общих свойств масштабно-сдвиговых семейств распределений (см. выше), нормальное распределение – это распределение случайной величины

где Х – случайная величина с распределением Ф(Х), причем m = M (Y ), = D (Y ). Нормальное распределение с параметрами сдвига m и масштаба обычно обозначается N (m , ) (иногда используется обозначение N (m , ) ).

Как следует из (8), плотность вероятности нормального распределения N (m , ) есть

Нормальные распределения образуют масштабно-сдвиговое семейство. При этом параметром масштаба является d = 1/ , а параметром сдвига c = - m / .

Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства

Эти равенства лежат в основе классических методов проверки того, что результаты наблюдений подчиняются нормальному распределению. В настоящее время нормальность обычно рекомендуется проверять по критерию W Шапиро – Уилка. Проблема проверки нормальности обсуждается ниже.

Если случайные величины Х 1 и Х 2 имеют функции распределения N (m 1 , 1) и N (m 2 , 2) соответственно, то Х 1 + Х 2 имеет распределение Следовательно, если случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n N (m , ) , то их среднее арифметическое

имеет распределение N (m , ) . Эти свойства нормального распределения постоянно используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений, в частности, при статистическом регулировании технологических процессов и в статистическом приемочном контроле по количественному признаку.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных.

Распределение (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X 1 , X 2 ,…, X n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента. Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

где случайные величины Х 1 и Х 2 независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k 1 и k 2 соответственно. При этом пара (k 1 , k 2 ) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k 1 – число степеней свободы числителя, а k 2 – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.

Выражения для функций распределения хи - квадрат, Стьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы можно найти в специальной литературе (см., например, ).

Как уже отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чем причина такой широкой распространенности этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой.

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть X 1 , X 2 ,…, X n ,… - независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(X 1 ), М(X 2 ),…, М(X n), … и дисперсиями D (X 1 ), D (X 2 ),…, D (X n), … соответственно. Пусть

Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых в U n ,

для любого х .

Условия, о которых идет речь, не будем здесь формулировать. Их можно найти в специальной литературе (см., например, ). «Выяснение условий, при которых действует ЦПТ, составляет заслугу выдающихся русских ученых А.А.Маркова (1857-1922) и, в особенности, А.М.Ляпунова (1857-1918)» .

Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно , т.е. путем сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

Иногда считают, что для нормальности распределения достаточно того, что результат измерения (наблюдения) Х формируется под действием многих причин, каждая из которых оказывает малое воздействие. Это не так. Важно, как эти причины действуют. Если аддитивно – то Х имеет приближенно нормальное распределение. Если мультипликативно (т.е. действия отдельных причин перемножаются, а не складываются), то распределение Х близко не к нормальному, а к т.н. логарифмически нормальному, т.е. не Х , а lg X имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований считать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата (или какой-либо иной вполне определенный механизм), то про распределение Х ничего определенного сказать нельзя.

Из сказанного вытекает, что в конкретной прикладной задаче нормальность результатов измерений (наблюдений), как правило, нельзя установить из общих соображений, ее следует проверять с помощью статистических критериев. Или же использовать непараметрические статистические методы, не опирающиеся на предположения о принадлежности функций распределения результатов измерений (наблюдений) к тому или иному параметрическому семейству.

Непрерывные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений. Кроме масштабно-сдвигового семейства нормальных распределений, широко используют ряд других семейств распределения – логарифмически нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Рассмотрим эти семейства.

Случайная величина Х имеет логарифмически нормальное распределение, если случайная величина Y = lg X имеет нормальное распределение. Тогда Z = ln X = 2,3026…Y также имеет нормальное распределение N (a 1 ,σ 1) , где ln X - натуральный логарифм Х . Плотность логарифмически нормального распределения такова:

Из центральной предельной теоремы следует, что произведение X = X 1 X 2 … X n независимых положительных случайных величин X i , i = 1, 2,…, n , при больших n можно аппроксимировать логарифмически нормальным распределением. В частности, мультипликативная модель формирования заработной платы или дохода приводит к рекомендации приближать распределения заработной платы и дохода логарифмически нормальными законами. Для России эта рекомендация оказалась обоснованной - статистические данные подтверждают ее.

Имеются и другие вероятностные модели, приводящие к логарифмически нормальному закону. Классический пример такой модели дан А.Н.Колмогоровым , который из физически обоснованной системы постулатов вывел заключение о том, что размеры частиц при дроблении кусков руды, угля и т.п. на шаровых мельницах имеют логарифмически нормальное распределение.

Перейдем к другому семейству распределений, широко используемому в различных вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, - семейству экспоненциальных распределений. Начнем с вероятностной модели, приводящей к таким распределениям. Для этого рассмотрим "поток событий", т.е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке; поток отказов изделий при испытаниях продукции; поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами, и т.д. В теории потоков событий справедлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме, но в ней речь идет не о суммировании случайных величин, а о суммировании потоков событий. Рассматривается суммарный поток, составленный из большого числа независимых потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, слагается из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. Доказано , что в случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом - интенсивностью потока. Для суммарного потока рассмотрим случайную величину Х - длину промежутка времени между последовательными событиями. Ее функция распределения имеет вид

(10)

Это распределение называется экспоненциальным распределением, т.к. в формуле (10) участвует экспоненциальная функция e -λ x . Величина 1/λ - масштабный параметр. Иногда вводят и параметр сдвига с , экспоненциальным называют распределение случайной величины Х + с , где распределение Х задается формулой (10).

Экспоненциальные распределения - частный случай т. н. распределений Вейбулла - Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, и математика Б.В.Гнеденко (1912-1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. Пусть Х - случайная величина, характеризующая длительность функционирования изделия, сложной системы, элемента (т.е. ресурс, наработку до предельного состояния и т.п.), длительность функционирования предприятия или жизни живого существа и т.д. Важную роль играет интенсивность отказа

(11)

где F (x ) и f (x ) - функция распределения и плотность случайной величины Х .

Опишем типичное поведение интенсивности отказа. Весь интервал времени можно разбить на три периода. На первом из них функция λ(х) имеет высокие значения и явную тенденцию к убыванию (чаще всего она монотонно убывает). Это можно объяснить наличием в рассматриваемой партии единиц продукции с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих единиц продукции. Первый период называют "периодом приработки" (или "обкатки"). Именно на него обычно распространяется гарантийный срок.

Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной и сравнительно низкой интенсивностью отказов. Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и т.п.) и не зависит от длительности эксплуатации единицы продукции.

Наконец, последний период эксплуатации - период старения и износа. Природа отказов в этот период - в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества единицы продукции и окончательному выходу ее из строя.

Каждому периоду соответствует свой вид функции λ(х) . Рассмотрим класс степенных зависимостей

λ(х) = λ 0 bx b -1 , (12)

где λ 0 > 0 и b > 0 - некоторые числовые параметры. Значения b < 1, b = 0 и b > 1 отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно.

Соотношение (11) при заданной интенсивности отказа λ(х) - дифференциальное уравнение относительно функции F (x ). Из теории дифференциальных уравнений следует, что

(13)

Подставив (12) в (13), получим, что

(14)

Распределение, задаваемое формулой (14) называется распределением Вейбулла - Гнеденко. Поскольку

то из формулы (14) следует, что величина а , задаваемая формулой (15), является масштабным параметром. Иногда вводят и параметр сдвига, т.е. функциями распределения Вейбулла - Гнеденко называют F (x - c ), где F (x ) задается формулой (14) при некоторых λ 0 и b .

Плотность распределения Вейбулла - Гнеденко имеет вид

(16)

где a > 0 - параметр масштаба, b > 0 - параметр формы, с - параметр сдвига. При этом параметр а из формулы (16) связан с параметром λ 0 из формулы (14) соотношением, указанным в формуле (15).

Экспоненциальное распределение - весьма частный случай распределения Вейбулла - Гнеденко, соответствующий значению параметра формы b = 1.

Распределение Вейбулла - Гнеденко применяется также при построении вероятностных моделей ситуаций, в которых поведение объекта определяется "наиболее слабым звеном". Подразумевается аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем ее звеном, которое имеет наименьшую прочность. Другими словами, пусть X 1 , X 2 ,…, X n - независимые одинаково распределенные случайные величины,

X(1) = min (X 1 , X 2 ,…, X n ), X(n) = max (X 1 , X 2 ,…, X n ).

В ряде прикладных задач большую роль играют X (1) и X (n ) , в частности, при исследовании максимально возможных значений ("рекордов") тех или иных значений, например, страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, при изучении пределов упругости и выносливости стали, ряда характеристик надежности и т.п. Показано, что при больших n распределения X (1) и X (n ) , как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла - Гнеденко. Основополагающий вклад в изучение распределений X (1) и X (n ) внес советский математик Б.В.Гнеденко. Использованию полученных результатов в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды В. Вейбулла, Э. Гумбеля, В.Б. Невзорова, Э.М. Кудлаева и многих иных специалистов.

Перейдем к семейству гамма-распределений. Они широко применяются в экономике и менеджменте, теории и практике надежности и испытаний, в различных областях техники, метеорологии и т.д. В частности, гамма-распределению подчинены во многих ситуациях такие величины, как общий срок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до k -го отказа, k = 1, 2, …, и т.д. Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определенного эффекта при лечении в ряде случаев имеют гамма-распределение. Это распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики).

Плотность гамма-распределения имеет вид

(17)

Плотность вероятности в формуле (17) определяется тремя параметрами a , b , c , где a >0, b >0. При этом a является параметром формы, b - параметром масштаба и с - параметром сдвига. Множитель 1/Γ(а) является нормировочным, он введен, чтобы

Здесь Γ(а) - одна из используемых в математике специальных функций, так называемая "гамма-функция", по которой названо и распределение, задаваемое формулой (17),

При фиксированном а формула (17) задает масштабно-сдвиговое семейство распределений, порождаемое распределением с плотностью

(18)

Распределение вида (18) называется стандартным гамма-распределением. Оно получается из формулы (17) при b = 1 и с = 0.

Частным случаем гамма-распределений при а = 1 являются экспоненциальные распределения (с λ = 1/ b ). При натуральном а и с =0 гамма-распределения называются распределениями Эрланга. С работ датского ученого К.А.Эрланга (1878-1929), сотрудника Копенгагенской телефонной компании, изучавшего в 1908-1922 гг. функционирование телефонных сетей, началось развитие теории массового обслуживания. Эта теория занимается вероятностно-статистическим моделированием систем, в которых происходит обслуживание потока заявок, с целью принятия оптимальных решений. Распределения Эрланга используют в тех же прикладных областях, в которых применяют экспоненциальные распределения. Это основано на следующем математическом факте: сумма k независимых случайных величин, экспоненциально распределенных с одинаковыми параметрами λ и с , имеет гамма-распределение с параметром формы а = k , параметром масштаба b = 1/λ и параметром сдвига kc . При с = 0 получаем распределение Эрланга.

Если случайная величина X имеет гамма-распределение с параметром формы а таким, что d = 2 a - целое число, b = 1 и с = 0, то 2Х имеет распределение хи-квадрат с d степенями свободы.

Случайная величина X с гвмма-распределением имеет следующие характеристики:

Математическое ожидание М(Х) = ab + c ,

Дисперсию D (X ) = σ 2 = ab 2 ,

Коэффициент вариации

Асимметрию

Эксцесс

Нормальное распределение - предельный случай гамма-распределения. Точнее, пусть Z - случайная величина, имеющая стандартное гамма-распределение, заданное формулой (18). Тогда

для любого действительного числа х , где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения N (0,1).

В прикладных исследованиях используются и другие параметрические семейства распределений, из которых наиболее известны система кривых Пирсона, ряды Эджворта и Шарлье. Здесь они не рассматриваются.

Дискретные распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений. Наиболее часто используют три семейства дискретных распределений - биномиальных, гипергеометрических и Пуассона, а также некоторые другие семейства - геометрических, отрицательных биномиальных, мультиномиальных, отрицательных гипергеометрических и т.д.

Как уже говорилось, биномиальное распределение имеет место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А . Если общее число испытаний n задано, то число испытаний Y , в которых появилось событие А , имеет биномиальное распределение. Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y определяется формулой

Число сочетаний из n элементов по y , известное из комбинаторики. Для всех y , кроме 0, 1, 2, …, n , имеем P (Y = y )= 0. Биномиальное распределение при фиксированном объеме выборки n задается параметром p , т.е. биномиальные распределения образуют однопараметрическое семейство. Они применяются при анализе данных выборочных исследований , в частности, при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и др.

Если Y 1 и Y 2 - независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром p 0 , определенные по выборкам с объемами n 1 и n 2 соответственно, то Y 1 + Y 2 - биномиальная случайная величина, имеющая распределение (19) с р = p 0 и n = n 1 + n 2 . Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр.

Характеристики биномиального распределения вычислены ранее:

M (Y ) = np , D (Y ) = np (1- p ).

В разделе "События и вероятности" для биномиальной случайной величины доказан закон больших чисел:

для любого . С помощью центральной предельной теоремы закон больших чисел можно уточнить, указав, насколько Y / n отличается от р .

Теорема Муавра-Лапласа. Для любых чисел a и b , a < b , имеем

где Ф (х ) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Для доказательства достаточно воспользоваться представлением Y в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для M (Y ) и D (Y ) и центральной предельной теоремой.

Эта теорема для случая р = ½ доказана английским математиком А.Муавром (1667-1754) в 1730 г. В приведенной выше формулировке она была доказана в 1810 г. французским математиком Пьером Симоном Лапласом (1749 – 1827).

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий признаком А , либо как не обладающий этим признаком. Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Y , равная числу объектов, обладающих признаком А в случайной выборке объема n , где n < N . Например, число Y дефектных единиц продукции в случайной выборке объема n из партии объема N имеет гипергеометрическое распределение, если n < N . Другой пример – лотерея. Пусть признак А билета – это признак «быть выигрышным». Пусть всего билетов N , а некоторое лицо приобрело n из них. Тогда число выигрышных билетов у этого лица имеет гипергеометрическое распределение.

Для гипергеометрического распределения вероятность принятия случайной величиной Y значения y имеет вид

(20)

где D – число объектов, обладающих признаком А , в рассматриваемой совокупности объема N . При этом y принимает значения от max{0, n - (N - D )} до min{n , D }, при прочих y вероятность в формуле (20) равна 0. Таким образом, гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами – объемом генеральной совокупности N , числом объектов D в ней, обладающих рассматриваемым признаком А , и объемом выборки n .

Простой случайной выборкой объема n из совокупности объема N называется выборка, полученная в результате случайного отбора, при котором любой из наборов из n объектов имеет одну и ту же вероятность быть отобранным. Методы случайного отбора выборок респондентов (опрашиваемых) или единиц штучной продукции рассматриваются в инструктивно-методических и нормативно-технических документах. Один из методов отбора таков: объекты отбирают один из другим, причем на каждом шаге каждый из оставшихся в совокупности объектов имеет одинаковые шансы быть отобранным. В литературе для рассматриваемого типа выборок используются также термины «случайная выборка», «случайная выборка без возвращения».

Поскольку объемы генеральной совокупности (партии) N и выборки n обычно известны, то подлежащим оцениванию параметром гипергеометрического распределения является D . В статистических методах управления качеством продукции D – обычно число дефектных единиц продукции в партии. Представляет интерес также характеристика распределения D / N – уровень дефектности.

Для гипергеометрического распределения

Последний множитель в выражении для дисперсии близок к 1, если N >10 n . Если при этом сделать замену p = D / N , то выражения для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения перейдут в выражения для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения. Это не случайно. Можно показать, что

при N >10 n , где p = D / N . Справедливо предельное соотношение

и этим предельным соотношением можно пользоваться при N >10 n .

Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если

,

где λ – параметр распределения Пуассона, и P (Y = y )= 0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона

M (Y ) = λ, D (Y ) = λ.

Это распределение названо в честь французского математика С.Д.Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение

Поэтому распределение Пуассона (в старой терминологии «закон распределения») часто называют также «законом редких событий».

Распределение Пуассона возникает в теории потоков событий (см. выше). Доказано, что для простейшего потока с постоянной интенсивностью Λ число событий (вызовов), происшедших за время t , имеет распределение Пуассона с параметром λ = Λt . Следовательно, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события, равна e - Λ t , т.е. функция распределения длины промежутка между событиями является экспоненциальной.

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете оперативных характеристик планов статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и т.д.

Описание иных параметрических семейств дискретных распределений и возможности их практического использования рассматриваются в литературе.

В некоторых случаях, например, при изучении цен, объемов выпуска или суммарной наработки на отказ в задачах надежности, функции распределения постоянны на некоторых интервалах, в которые значения исследуемых случайных величин не могут попасть.

Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:

• Биномиальный закон распределения
• Пуассоновский закон распределения
• Геометрический закон распределения
• Гипергеометрический закон распределения

Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.

1. Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$. Фактически, случайная величина $X$ - это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний . Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end{array}$

Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ - числа мальчиков в семье.

Пусть случайная величина $\xi $ - число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$, где $n=2$ - число независимых испытаний, $p=0,5$ - вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot {0,5}^0\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-0}={0,5}^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-1}=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot {0,5}^2\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-2}={0,5}^2=0,25.$

Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}$

Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _{i=1}^{n}P(\xi _{{\rm i}})=0,25+0,5+0,25=1 $.

Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt{D\left(\xi \right)}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$.

2. Закон распределения Пуассона.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.

Замечание . Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.

Пример . Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.

Пример . Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Пусть дискретная случайная величина $X$ - число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.

$P\left(X=0\right)={{1^0}\over {0!}}\cdot e^{-1}=0,368;$

$P\left(X=1\right)={{1^1}\over {1!}}\cdot e^{-1}=0,368;$

$P\left(X=2\right)={{1^2}\over {2!}}\cdot e^{-1}=0,184;$

$P\left(X=3\right)={{1^3}\over {3!}}\cdot e^{-1}=0,061;$

$P\left(X=4\right)={{1^4}\over {4!}}\cdot e^{-1}=0,015;$

$P\left(X=5\right)={{1^5}\over {5!}}\cdot e^{-1}=0,003;$

$P\left(X=6\right)={{1^6}\over {6!}}\cdot e^{-1}=0,001;$

$P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$

Закон распределения случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda } \\
\hline
\end{array}$

Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Геометрический закон распределения.

Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p{\left(1-p\right)}^{k-1},\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.

Пример . Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.

Пример . На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Пусть случайная величина $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^{k-1}$, где: $p=2/5$ - вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ - вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^0={{2}\over {5}}=0,4;$

$P\left(X=2\right)={{2}\over {5}}\cdot {{3}\over {5}}={{6}\over {25}}=0,24;$

$P\left(X=3\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^2={{2}\over {5}}\cdot {{9}\over {25}}={{18}\over {125}}=0,144;$

$P\left(X=4\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^3+{\left({{3}\over {5}}\right)}^4={{27}\over {125}}=0,216.$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end{array}$

Математическое ожидание:

$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2=}0,4\cdot {\left(1-2,176\right)}^2+0,24\cdot {\left(2-2,176\right)}^2+0,144\cdot {\left(3-2,176\right)}^2+$

$+\ 0,216\cdot {\left(4-2,176\right)}^2\approx 1,377.$

Среднее квадратическое отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{1,377}\approx 1,173.$

4. Гипергеометрический закон распределения.

Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ - число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:

$P\left(X=k\right)={{C^k_mC^{n-k}_{N-m}}\over {C^n_N}}$

Замечание . Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.

$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК . Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}$.

Пример . В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.

а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения.

Пусть случайная величина $X$ - число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ - размер совокупности, $m=5$ - число успехов в совокупности, $n=3$ - размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ - число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)={C_{m}^{k} \cdot C_{N-m}^{n-k} \over C_{N}^{n} } $. Имеем:

$P\left(X=0\right)={{C^0_5\cdot C^3_3}\over {C^3_8}}={{1}\over {56}}\approx 0,018;$

$P\left(X=1\right)={{C^1_5\cdot C^2_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {56}}\approx 0,268;$

$P\left(X=2\right)={{C^2_5\cdot C^1_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {28}}\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)={{C^3_5\cdot C^0_3}\over {C^3_8}}={{5}\over {28}}\approx 0,179.$

Тогда ряд распределения случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end{array}$

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.

$M\left(X\right)={{nm}\over {N}}={{3\cdot 5}\over {8}}={{15}\over {8}}=1,875.$

$D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}={{3\cdot 5\cdot \left(1-{{5}\over {8}}\right)\cdot \left(1-{{3}\over {8}}\right)}\over {8-1}}={{225}\over {448}}\approx 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{0,502}\approx 0,7085.$

Глава 1. Дискретная случайная величина

§ 1.Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Функция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

то функция распределения F(x) определяется формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х> хn.

Её график изображен на рис.2:

§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С Х)=С М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .

Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х - случайная величина;

3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Биномиальный закон распределения

дискретной случайной величины, закон Пуассона.

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Рn(m)= e - λ λm

Найдем λ=np=1000 0,002=2.

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р1000(5)= e -2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e -2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Задачи для самостоятельной работы.

1.1

1.2. Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.5. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

1.8. На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

1.10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

1.11. Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

1.12. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

1.13 .Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов.

1.15. Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит:

а) четыре бракованные книги,

б) менее двух бракованных книг.

1 .16. Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит:

а) два вызова;

б)хотя бы один вызов.

1.17.

Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.

1.18. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

Ответы:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1. р3=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение : Плотностью распределения вероятностей f ( x ) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.:

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)

Решение:

+ ∞

а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.

Следовательно, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Найти дифференциальную функцию распределения f(х)

Решение: Т. к.f(х)= F’(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= с х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

0 при х≤0,

f(х)= с √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .

2.7. Функция f(х) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2].

2.8. Функция f(x) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">.

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (рис.5)

2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

0 при х≤0,

f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

График функции f(x) изображен на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;

б) функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Построим ее график (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a<Х

Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение: По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1- е -0,01х при х≥0.

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.

§ 3.Нормальный закон распределения

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:

,

где - функция Лапласа.

Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.

График функции распределения F(x) изображен на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

В частности, при m=0 справедливо равенство:

«Правило трех сигм»

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Воспользуемся формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P(28

Задачи для самостоятельной работы

3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(4<х<6).

3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(3≤х≤6).

3.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

3.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5).

3.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

3.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.11. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность?

3.12. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

3.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции.

3.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г.

3.15. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

3.16. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х.

3.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Ответы

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х)= left">

3.10. а)f(x)= ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.