0

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Могилевский государственный университет имени А.А. Кулешова»

Кафедра МАиВТ

Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Курсовая работа

Выполнил: студент Б группы 3 курса

физико-математического факультета

Юскаева Александра Маратовна

Научный руководитель:

Морозов Николай Порфирьевич

МОГИЛЕВ, 2010

Введение 1. Дифференциальные уравнения высших порядков 1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка 2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. 2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. 3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений. 3.1. Уравнение Бесселя. 3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса. 4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике. Заключение Литература

Введение

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F - известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x - независимая переменная;

y - функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y (n) - производные функции y.

При этом предполагается, что y (n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с 1 , с 2 ,..., c n и имеет вид.

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n -го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y (n) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где - известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным () и неоднородным.

1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где, — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х 0 - Т; х 0 + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х 0 - Т; х 0 + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x - x 0 | < Т степенного ряда:

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).

Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x 0 = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде

Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство

Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти, …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , =).

Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или, решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом. Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.

Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или

Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем

……………………………

Коэффициент при нулевой степени x равен 2у 2 . Следовательно, у 2 = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен. Отсюда.

Из этой формулы получаем

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем

а во втором

На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой.

Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и.

Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или, называются особыми точками уравнения (2.1).

Для уравнения второго порядка

в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х - x 0 | < а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В окрестности особой точки х = х 0 решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:

где λ и, …, () подлежат определению.

Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х 0 хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х 0 не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х 0 . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х - х 0 | < R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х 0 = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

……..........................……………………………………………. (2.8)

где обозначено

Так как, то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть - корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда. Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля - Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

1. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на -x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть, . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и. Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у" и у" в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на, имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, ... имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты, а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

Введем функцию

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых, а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

Полагая, находим

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через:

Таким образом,

Полагая представим у 2 (х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и: .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки. Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь, так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни, причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем.

Пусть, тогда получаем.

Приравнивая нулю коэффициент при, найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Второе частное решение имеет вид:

Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле

Получим уравнение Гаусса

в котором роль параметров α, β и γ играют и.

Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:

Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.

С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 - t.

Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим

Это — уравнение Гаусса с параметрами. Оно имеет в окрестности |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 - х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х - 1| < 1 особой точки х = 1

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

1. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты.

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения. По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения:

………………………………….

Из этих уравнений находим

Положим, тогда отличными от нуля будут только коэффициенты. Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив. Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты:

Ряды, представляющие и, сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой, где С 1 , С 2 — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у" + (3х - 2х 2)у" - (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ 1 = 1/2 и λ 2 = - 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ 1 ищем в виде

Подставив, и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на, получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения:

Положив y 0 = 1, находим

Таким образом,

Соответствующее корню λ = λ 2 решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y 0 = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде, где и - произвольные постоянные.

Заключение

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Литература:

1. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. - 768с. с ил.
2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.
4. Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.: ил.
5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. - М.: Физматизд, 1961. - 100 с.: ил.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера.

Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда?

Продолжая изучать практические приложения теории рядов, рассмотрим ещё одну распространённую задачу, название которой вы видите в заголовке. И, чтобы не чувствовать себя газонокосилкой на протяжении урока, давайте сразу же разберёмся в сути задания. Три вопроса и три ответа:

Что нужно найти? Частное решение дифференциального уравнения . Намёк между строк шепчет, что к данному моменту желательно хотя бы понимать, что такое дифференциальное уравнение и что такое его решение.

КАК по условию требуется это решение? Приближённо – с помощью ряда .

И третий закономерный вопрос: почему приближённо? Этот вопрос я уже освещал на уроке Методы Эйлера и Рунге-Кутты , однако повторение не помешает. Будучи сторонником конкретики, вернусь к простейшему дифференциальному уравнению . В ходе первой лекции по диффурам мы нашли его общее решение (множество экспонент) и частное решение , соответствующее начальному условию . График функции – это самая обычная линия, которую нетрудно изобразить на чертеже.

Но то элементарный случай. На практике встречается великое множество дифференциальных уравнений, неразрешимых аналитически точно (по крайне мере, известными на сегодняшний день способами). Иными словами, как ни крути такое уравнение – проинтегрировать его не удастся. А закавыка состоит в том, что общее решение (семейство линий на плоскости) может существовать . И тогда на помощь приходят методы вычислительной математики.

Встречаем нашу радость!

Типовая задача формулируется следующим образом:

… , удовлетворяющее начальному условию , в виде трёх (реже – четырёх-пяти) отличных от нуля членов ряда Тейлора .

Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле:

Единственное, здесь вместо буквы «эф» используется «игрек» (так уж повелось).

Идея и смысл тоже знакомы : для некоторых диффуров и при некоторых условиях (не будем вдаваться в теорию) построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению . То есть, чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции .

Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям. Проведём незамысловатое детское исследование на том же горшке:

Пример 1

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора.

Решение : в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена :

Немного забегая вперёд, скажу, что в практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд.

Занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

Разбираемся со значениями . Этапы решения удобно занумеровать:

0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия. В тетради итоговые результаты пунктов желательно обводить в кружок, чтобы они были хорошо видны и не затерялись в решении. Мне по техническим причинам сподручнее выделять их жирным шрифтом. Кроме того, отмечаем, что данное значение не равно нулю ! Ведь по условию требуется найти четыре отличных от нуля членовряда.

1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение :

2) Вычислим . Сначала находим вторую производную :

Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение :

В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один:

Пример 2

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора.

Решение начинается стандартной фразой:

В данной задаче , следовательно:

Теперь последовательно находим значения – до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут – это идеальный случай с минимальным количеством работы.

Нарезаем пункты решения:

0) По условию . Вот и первый успех.

1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим . Подставим в правую часть известные значения :

Получена баранка и это не есть хорошо, поскольку нас интересуют ненулевые значения. Однако ноль – тоже результат , который не забываем обвести в кружок или выделить каким-нибудь другим способом.

2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения :

Второй «не ноль».

3) Находим – производную от второй производной:

Вообще, задание чем-то напоминает Сказку про Репку, когда дедка, бабка и внучка зовут на помощь жучку, кошку и т.д. И в самом деле, каждая следующая производная выражается через своих «предшественников».

Подставим в правую часть известные значения :

Третье ненулевое значение. Вытащили Репку.

Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу:

Ответ : искомое приближенное разложение частного решения:

В рассмотренном примере попался всего один ноль на втором месте, и это не так уж плохо. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Повторюсь, их очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.

Вот, пожалуйста – бублик на самом первом месте:

Пример 3

Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , в виде трёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора.

Примерный образец оформления задачи в конце урока. Пункты алгоритма можно и не нумеровать (оставляя, например, пустые строки между шагами), но начинающим рекомендую придерживаться строгого шаблона.

Рассматриваемая задача требует повышенного внимания – если допустить ошибку на каком-либо шаге, то всё остальное тоже будет неверным! Поэтому ваша ясная голова должна работать как часы. Увы, это не интегралы или диффуры , которые надёжно решаются и в утомлённом состоянии, поскольку позволяют выполнить эффективную проверку.

На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена :

Пример 4

Решение : в принципе, можно сразу записать разложение Маклорена , но оформление задачи академичнее начать с общего случая:

Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:

В данном случае , следовательно:

0) По условию .

Ну что поделать…. Будем надеяться, что нулей встретится поменьше.

1) Вычислим . Первая производная уже готова к употреблению. Подставим значения :

2) Найдём вторую производную:

И подставим в неё :

Резво дело пошло!

3) Находим . Распишу очень подробно:

Заметьте, что к производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же).

Подставим в всё, что нажито непосильным трудом :

Три ненулевых значения рождены.

Подставляем «жирные» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:

Ответ :

Для самостоятельного решения:

Пример 5

Представить приближенно частное решение ДУ, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.

Примерный образец оформления в конце урока.

Как видите, задача с частным разложением в ряд Маклорена оказалась даже труднее общего случая. Сложность рассматриваемого задания, как мы только что убедились, состоит не столько в самом разложении, сколько в трудностях дифференцирования. Более того, порой, приходится находить 5-6 производных (а то и больше), что повышает риск ошибки. И в завершении урока предлагаю пару задач повышенной сложности:

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда

Решение :перед нами диффур второго порядка, но это практически не меняет дела. По условию и нам сразу же предложено воспользоваться рядом Маклорена, чем мы не преминем воспользоваться. Запишем знакомое разложение, прихватив на всякий пожарный побольше слагаемых:

Алгоритм работает точно так же:

0) – по условию.

1) – по условию.

2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: .

И подставим :

Первое ненулевое значение

Щёлкаем производные и выполняем подстановки:

Подставим и :

Подставим :

Второе ненулевое значение.

5) – по ходу дела приводим подобные производные.

Подставим :

Подставим :

Наконец-то. Впрочем, бывает и хуже.

Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:

Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Пусть - дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки т.е. имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

В частном случае при ряд (1.8) называется рядом Маклорена:

Возникает вопрос: В каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 1.4: если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т.е. то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого из этого интервала т.е. имеет место равенство

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно .

Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида

где - заданная функция своих аргументов.

В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин - «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка .

Например,

А) - уравнение первого порядка;

Б) - уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

В) - уравнение второго порядка;

Г) - уравнение первого порядка, образующее после деления на эквивалентную форму задания уравнения:

Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.

Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение - значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.10) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.10).

Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.10). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.10). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при:

В правых частях начальных условий (1.11) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.10) по начальным условиям называется задачей Коши .

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы ОДУ. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. Ограничимся для простоты рассмотрением линейного однородного ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание: достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где - некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом.

Предположим, что функции можно разложить в сходящиеся в интервале ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку) .

Теорема 1.5: если функции имеют вид (1.13), то любое решение ОДУ (1.12) представимо в виде сходящегося при степенного ряда:

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (1.14). Для простоты положим в (1.13) и (1.14) и будем искать решение ОДУ (1.12) в виде

Подставив (1.15) в (1.12), получим равенство

Для выполнения (1.16) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени был равен нулю.

Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

из которой можно последовательно найти если задать значения и (в случае задачи Коши для ОДУ (1.12) они входят в начальные условия).

Если функции являются рациональными, т.е.

где - многочлены, то в окрестностях точек, в которых или решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом

Решение ОДУ в виде расходящегося степенного ряда называют формальным .

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c i .

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов . Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c i .

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения
c начальными условиями y (0)=1, y ’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:

Итого:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования .

Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

Если заданные начальные условия y (0)=1, y ’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде
и будем последовательно дифференцировать его по х .

После подстановки полученных значений получаем:

Критерий Коши.

(необходимые и достат очные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N , что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

Доказательство . (необходимость)

Пусть
, тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

Следствие. Если f (x ) и  (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.