Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия

Лекция №16

Преобразование подобия. Гомотетия. Виды подобия.

Классификация подобий плоскости. Группа подобия и ее подгруппы.

Определение 16.1 . Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A ` и B ` выполняется равенство
.

При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.

Определение 16.2. Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m1 , что для любых трех точек плоскости М, М, M ` выполняется условие
.

Точка М - центр гомотетии, числоm – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.

Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.

Доказательство:

,
.

2. По определению гомотетии имеем:

3. Вычтем из первого равенства второе: ,

. Значит, гомотетия есть подобие, где коэффициент гомотетии
равен коэффициенту подобия.

Если точка М (x , у) при гомотетии переходит в точкуM`(x`,y`), то:

- аналитические выражения гомотетии.

Свойства гомотетии

Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.

Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Теорема 16.4. Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0 , а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М . Тогда существует единственное движение g такое, что f = g ∙ h .

Доказательство:

Рассмотрим композицию движения и гомотетии(помножим обе части равенства (*) на гомотетию):
илиg ∙ h = f (**)

Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.

Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.

Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.

Аналитические выражения подобия

Так какгомотетия задается выражениями , движение задается выражениями, то координаты образа
точки
в преобразовании подобия
вычисляются по формулам:

Если ε = 1, то подобие первого рода;

Если ε = -1, то подобие второго рода.

Теорема 16.5. Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.

Доказательство:

1. Точка
является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда
. Из аналитических выражений подобия следует, что

Определитель системы не равен 0 при ε = ± 1 . Таким образом, при k 1 для любого имеем, что определитель не равен нулю и, следовательно, система является однородной, т.е. будет иметь единственное решение.

Классификация подобия

Подобие первого рода.

Подобие второго рода.

Следствие16.6. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.

Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

Пусть рассматривается некоторая фигура и фигура, полученная из нее преобразованием подобия (центр О, коэффициент k, см. рис. 263). Установим основные свойства преобразования подобия.

1. Преобразование подобия устанавливает между точками фигур взаимно однозначное соответствие.

Это значит, что при заданном центре О и коэффициенте подобия k всякой точке первой фигуры отвечает единственным образом определенная точка второй фигуры и что, обратно, всякая точка второй фигуры получена преобразованием единственной точки первой Фигуры.

Доказательство. То, что любой точке А исходной фигуры отвечает определенная точка А преобразованной фигуры, следует из определения, указывающего точный способ преобразования. Легко видеть, что, и обратно, преобразованная точка А определяет исходную точку А однозначно: обе точки должны лежать на одном луче при и на противоположных лучах при и отношение их расстояний до начала луча О известно: при Поэтому точка А, лежащая на известном нам расстоянии от начала О, определена единственным образом.

Следующее свойство можно назвать свойством взаимности.

2. Если некоторая фигура получена из другой фигуры преобразованием подобия с центром О и коэффициентом подобия k, то, и обратно, исходная фигура может быть получена преобразованием подобия из второй фигуры с тем же центром подобия и коэффициентом подобия

Это свойство, очевидно, следует хотя бы из рассуждений, приведенных при доказательстве свойства 1. Читателю остается проверить, что соотношение верно для обоих случаев: КО и

Фигуры, получаемые одна из другой преобразованием подобия, называют гомотетичными или подобно расположенными.

3. Любые точки, лежащие на одной прямой, преобразуются при гомотетии в щочки, лежащие на одной прямой, параллельной исходной (совпадающей с ней, если она проходит через О).

Доказательство. Случай, когда прямая проходит через О, ясен; любые точки этой прямой переходят в точки этой же прямой. Рассмотрим общий случай: пусть (рис. 266) А, В, С - три точки основной фигуры, лежащие на одной прямой; пусть А - образ точки А при преобразовании подобия.

Проведем покажем, что образы В и С также лежат на АК. Действительно, проведенная прямая и прямая АС отсекают на ОА, ОВ, ОС пропорциональные части: Таким образом, видно, что точки , лежащие на лучах ОВ и ОС и на прямой АК (аналогично получится и при являются соответственными для В и С. Можно сказать, что при преобразовании подобия всякая прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в прямую, параллельную себе.

Из сказанного уже видно, что всякий отрезок преобразуется также в отрезок.

4. При преобразовании подобия отношение любой пары соответствующих отрезков равно одному и тому же числу - коэффициенту подобия.

Доказательство. Следует различать два случая.

1) Пусть данный отрезок АВ не лежит на луче, проходящем через центр подобия (рис. 266). В этом случае данные два отрезка - исходный АВ и ему подобно соответствующий АВ - суть отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла АОВ. Применяя свойство п. 203, находим , что и требовалось доказать.

2) Пусть данный отрезок, а значит, и ему подобно соответствующий лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия (отрезки АВ и АВ на рис. 267). Из определения подобного преобразования имеем откуда, образуя производную пропорцию, находим , что и требовалось доказать.

5. Углы между соответствующими прямыми (отрезками) подобно расположенных фигур равны.

Доказательство. Пусть данный угол и угол, соответствующий ему при преобразовании подобия с центром О и некоторым коэффициентом k. На рис. 263, 264 представлены два варианта: . В любом из этих случаев по свойству 3 стороны углов попарно параллельны. При этом в одном случае обе пары сторон одинаково направлены, во втором - обе противоположно направлены. Таким образом, по свойству углов с параллельными сторонами углы равны.

Итак, доказана

Теорема 1. У подобно расположенных фигур любые соответствующие пары отрезков находятся в одном и том же постоянном отношении, равном коэффициенту подобия; любые пары соответствующих углов равны.

Таким образом, из двух подобно расположенных фигур любая может считаться изображением другой в некотором выбранной масштабе.

Пример 1. Построить фигуру, подобно расположенную с квадратом ABCD (рис. 268) при данном центре подобия О и коэффициенте подобия

Решение. Соединяем одну из вершин квадрата (например, А) с центром О и строим точку А такую, что Эта точка и будет соответствовать А в преобразовании подобия. Дальнейшее построение удобно провести так: соединим остальные вершины квадрата с О и через А проведем прямые, параллельные соответствующим сторонам АВ и AD. В точках их пересечения с О В и и будут помещаться вершины В и D. Так же проводим ВС параллельно ВС и находим четвертую вершину С. Почему ABCD также является квадратом? Обосновать самостоятельно!

Пример 2. На рис. 269 показана пара подобно расположенных треугольных пластинок. На одной из них изображена точка К. Построить соответствующую точку на второй.

Решение. Соединим К с одной из вершин треугольника, например с А. Полученная прямая пересечет сторону ВС в точке L. Находим соответствующую точку L как пересечение и ВС и строим искомую точку К на отрезке , пересекая его прямой ОК.

Теорема 2. Фигура, гомотетичная окружности (кругу), есть снова окружность (круг). Центры кругов подобно соответствуют.

Доказательство. Пусть С-центр окружности Ф радиуса R (рис. 270), О - центр подобия. Коэффициент подобия обозначим через k. Пусть С - точка, подобно соответствующая центру С окружности . (Мы еще не знаем, будет ли она сохранять роль центра!) Рассмотрим всевозможные радиусы окружности все они при преобразовании подобия перейдут в отрезки, параллельные себе и имеющие равные длины

Таким образом, все концы преобразованных радиусов разместятся вновь на одной окружности с центром С и радиусом R, что и требовалось доказать.

Обратно, любые две окружности находятся в гомотетичном соответствии (в общем случае даже двояком, с двумя разными центрами).

Действительно, проведем любой радиус первой окружности (радиус СМ на рис. 271) и оба параллельных ему радиуса второй окружности. Точки пересечения линии центров СС и прямых, соединяющих конец радиуса СМ с концами радиусов, параллельных ему, т. е. точки О и О" на рис. 271, могут быть приняты за центры гомотетии (первого и второго рода).

В случае концентрических окружностей имеется единственный центр гомотетии - общий центр окружностей; равные окружности находятся в соответствии гомотетии с центром в середине отрезка .

Подобием μ называется такое преобразование плоскости, которое расстояние между любыми двумя точками изменяет в r>0 раз: .

При условии r=1 это движение.

Гомотетия с коэффициентом также является частным случаем подобия .

Теорема : Если даны прямоугольные декартовы реперы , то единственное подобие μ, которое осуществляет перевод

Как и для движений можно показать, что и

Из этих формул следует, что всякое подобие можно представить в виде произведения гомотетии и движения .

Из теоремы следует, что:

Прямые переходят в прямые,

Углы между линиями сохраняются,

Все расстояния изменяются в r раз.

Теорема: множество преобразований подобия (на плоскости) образуют группу.

Группу подобия G(μ) называют метрической группой (группой Клейна), которая позволяет измерять расстояния.

Подгруппой является группа движений 1 рода (не изменяет ориентацию фигуры: параллельный перенос, поворот, центральная симметрия и тождественное преобразование).

Подобие является частным случаем отношения эквивалентности:

Подобие можно разбить на два класса:

Сохраняет ориентацию – 1 рода (образует группу);

Изменяет ориентацию – 2 рода (не образует группу).

При подобии площади фигур изменяются в r 2 раз, где r – коэффициент подобия.

Применение к решению задач:

Построить треугольник по двум углам и периметру.

Используем свойство подобия: линейные размеры подобных фигур соотносятся с коэффициентом подобия r.

1.Строим треугольник, у которого:

Основание равно нашему периметру,

Углы при основании равны нашим углам (получим треугольник, подобный данному – согласно 2 признаку подобия);

2. Можно определить новый периметр K, исходный периметр и сторона AB известны.

Так как треугольники подобны, то . Согласно теореме Фалеса найдем .

Аналогично найдем .

3. Откладываем от точки и получаем , аналогично от точки и получаем . Строим углы a и b, и получаем нужный нам треугольник .

Презентация по геометрии на тему «Подобие пространственных фигур» Подготовил Ученик 10 «Б» класса Куприянов Артем

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X", У фигуры F", в которые они переходят, X"Y" = k * XY . Определение: Преобразование подобия в пространстве Фигура называется подобной фигуре F , если существует подобие пространства, отображающая фигуру F на фигуру Определение:

Свойства подобия 1) При подобии прямые переходят в прямые, плоскости, отрезки и лучи отображаются также в плоскости, отрезки и лучи соответственно. 2) При подобии сохраняется величина угла (плоского и двухгранного), параллельные прямые(плоскости) отображаются как параллельные прямые (плоскости), перпендикулярная прямая и плоскость – на перпендикулярные прямую и плоскость. 3) Из сказанного выше следует, что подобном преобразовании подобия пространства образом любой фигуры является «похожая» на нее фигура, то есть фигура, имеющая такую же форму, что и отображаемая (данная) фигура, но отличающаяся от данной лишь своими «размерами»

Основные свойства подобных фигур Свойство транзитивности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 и фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигура F1 подобна фигуре F3. Свойство симметричности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 , то и фигура F2 подобна фигуре F1 Свойство рефлективности. Фигура подобна сама себе при коэффициенте подобия, равном 1 (при k=1)

Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия) Три свойства отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества – попарно непересекающиеся классы подобных между собой фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов. Множество кубов Пример: Множество правильных тетраэдров

Гомотетия - один из видов преобразований подобия. Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ’ , что = k Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают При k=1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при k=-1 – центральной симметрией с центром а центре гомотетии

Примеры гомотетии с центром в точке О

Формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k Свойства гомотетии 1) При гомотетии величина плоского и двухгранного угла сохраняется 2) При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в 3) Отношение площадей гомотетических фигур равно квадрату коэффициента гомотетии. 4) Отношение объемов гомотетических фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии 5) Гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации пространства, а с отрицательным коэффициентом – меняет.

6 свойство (с доказательством) Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Действительно, пусть О - центр гомотетии и α - любая плоскость, не проходящая через О. Возьмем любую прямую АВ в плоскости α . Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А" на луче OA , а точку В в точку В ’ на луче OB, причем - коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А"ОВ ’ . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА"В" , а значит, параллельность прямых АВ и А"В". Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А"С". При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость " проходящую через прямые А"В", А"С. Так как А"В‘ ll АВ и А ’ С ’ ll АС, то по признаку параллельности плоскостей плоскости и параллельны, что и требовалось доказать. Дано α O – центр гомотетии Доказать α II α ’ Доказательство

Кино в кинотеатрах

Тема урока: Преобразование подобия. Подобные фигуры.Гомотетия

Тип урока: урок сообщения и усвоения новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

дать понятие преобразования подобия фигур;

свойства преобразования подобия;

Развивающие:

1 .Развивать практические навыки применения подобия фигур при решении задач.

2. Создавать условия для реальной оценки у обучающихся своих знаний и возможностей.

Воспитательные:

1 .Воспитание навыков контроля и взаимоконтроля.

2.Воспитание аккуратности при выполнении чертежей и записей

Ход урока.

1. Организация на урок. подготовка учащихся к восприятию новых знаний, сообщение темы и целей урока.

2. Постановка цели:

знать : определение и свойства преобразования подобия, гомотетия

уметь: строить подобные и гомотетичные фигуры с данным коэффициентом подобия

3. Актуализация прежних знаний

Повторение пройденного материала, тесно связанного с изучением нового (фронтально устно, МД) Работа у доски

Определите вид преобразований:

Что общего между этими преобразованиями?

Свойства движения:

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Сохраняются расстояния между точками.

Сохраняются углы между лучами.

Следствие: При движении фигура переходит в равную ей фигуру!!!

4. Объяснение нового материала (лекция с опорным конспектом, СР с учебником -конспектирование)

Сначала выполните следующее задание: начертите у себя в тетрадях, а мы на доске, схематично план класса.

Почему стол на плане изображен прямоугольником(а не кругом или

квадратом)?

Чем отличаются и что имеют общего стол на планах на доске и в тетрадях? (отличаются размерами, но имеют одну и ту же форму).

В жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Таковы, например, фотографии одного и того же лица, изготовленные с одного негатива в различных размерах, планы здания или целого города, местности, вычерченные в различных масштабах.

Такие фигуры принято называть подобными , а преобразование, переводящее одну фигуру F в подобную фигуру F, называют преобразованием подобия.

Демонстрируются плакаты с изображением фигур, имеющих одинаковую форму, но различные размеры. Учащимся предлагается привести примеры таких предметов из жизни.

Для того, чтобы дать строгое математическое определение преобразования подобия надо выделить свойства этого преобразования.

Перед каждым учащимся лежит карточка (рис. 1)

Даны подобные фигуры F и F. Измерьте и сравните расстояния АВ и АВ, ВС и В 1 С 1 и т.д. Какую можно заметить зависимость между расстояниями у подобных фигур? (Все расстояния изменяются в одно и то же число раз, на чертеже в 2 раза).

Преобразование при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры  называется преобразованием подобия

т.е. ХУ" = к·ХУ; АВ= к ·АВ.

Число к называется коэффициентом подобия.

Преобразование подобия имеет широкое практическое применение, в частности, при выполнении деталей машин, составлении карт и планов местности. При этом коэффициент подобия называется масштабом.

Частным случаем преобразования подобия является преобразование гомотетии .

Пусть F данная фигура, О – фиксированная точка, к – положительное число. Через произвольную точку Х фигуры F проведем луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ" равный к ·ОХ.

Любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х" удовлетворяющая равенству ОХ"= к ОХ,преобразование называется гомотетией, относительно центра О с коэффициентом к.

Число к называется коэффициентом гомотетии , а фигуры F и F называются гомотетичными.

-

Для фигур F и F" укажите гомотетичные точки. Как располагается любая пара точек и центр О? (На одном луче).

Какая особенность в расположении гомотетичных отрезков? (Они параллельны ).

Всегда ли подобные фигуры гомотетичны? (Обратиться к карточке рис.2)

А всегда ли гомотетичные фигуры подобны?

Ответ на последний вопрос дает теорема: Гомотетия есть преобразование подобия.

Составьте постер: Преобразование подобия (свойства)

расстояние между любыми двумя точками увеличиваются или уменьшаются в одно тоже число раз

соответствующие стороны подобных фигур параллельны

При гомотетии сохраняются только углы!!!

центр и гомотетичные точки расположены на одной прямой

5,Проверка понимания нового материала :

Построить точку (отрезок, фигуру) гомотетичную данной, если коэффициент гомотетии равен к.

) к = 2 б) к = 3 в) к = 2

Практическая работа на карточках в 2 вариантах :

Вариант 1.

Дан прямоугольник и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному прямоугольнику относительно центра О с коэффициентом k = -2.

Вариант 2.

Дан квадрат и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному квадрату относительно центра О с коэффициентом k = 0,5.

В зависимости от подготовленности класса, можно организовать обмен карточками между соседями.

6 . Итог урока: (систематизация и обобщение знаний;)

Отметить учащихся, активно работавших на уроке. Сообщить и прокомментировать выставленные оценки

7. Домашнее задание § №