Плоскость в пространстве – необходимые сведения. Прямые и плоскости в пространстве Прямая и плоскость в пространстве

ПЛОСКОСТЬ.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется её нормальным вектором , и обозначается .

Определение. Уравнение плоскости вида где коэффициенты– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называетсяобщим уравнением плоскости.

Теорема. Уравнение определяет плоскость, проходящую через точкуи имеющую нормальный вектор.

Определение. Уравнение плоскости вида

где – произвольные, не равные нулю действительные числа, называетсяуравнением плоскости в отрезках.

Теорема. Пусть – уравнение плоскости в отрезках. Тогда– координаты точек её пересечения с осями координат.

Определение. Общее уравнение плоскости называетсянормированным или нормальным уравнением плоскости, если

и .

Теорема. Нормальное уравнение плоскости может быть записано в виде где – расстояние от начала координат до данной плоскости,– направляющие косинусы её нормального вектора).

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения плоскости называется число– где знак выбирается противоположным знаку свободного членаD .

Теорема. Пусть – нормирующий множитель общего уравнения плоскости. Тогда уравнение– является нормированным уравнением данной плоскости.

Теорема. Расстояние d от точки до плоскостиравно.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Две плоскости либо совпадают, либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.

Теорема. Пусть плоскости заданы общими уравнениями: . Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельные;

3) если или, то плоскости пересекаются по прямой, уравнением которой служит система уравнений: .

Теорема. Пусть – нормальные векторы двух плоскостей, тогда один из двух углов между данными плоскостями равен:.

Следствие. Пусть ,– нормальные векторы двух данных плоскостей. Если скалярное произведението данные плоскости являются перпендикулярными.

Теорема. Пусть даны координаты трех различных точек координатного пространства:

Тогда уравнение –является уравнением плоскости, проходящей через эти три точки .

Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоскостей: причем. Тогда:

– уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла , образованного пересечением данных плоскостей;

– уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла .

Связка и пучок плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки .

Теорема. Пусть – три плоскости, имеющие единственную общую точкуТогда уравнениегде– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение связки плоскостей .

Теорема. Уравнение , гдепроизвольные действительные параметры, одновременно не равные нулю, являетсяуравнением связки плоскостей с центром связки в точке .

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

–их соответствующие нормальные векторы. Для того чтобы три данные плоскости пересекались в единственной точке необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение их нормальных векторов не равнялось нулю:

В этом случае, координаты их единственной общей точки являются единственным решением системы уравнений:

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

Теорема. Пусть – две плоскости, пересекающиеся по прямой. Тогда уравнение, где– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение пучка плоскостей с осью пучка

ПРЯМАЯ.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором , и обозначается

Теорема. параметрическим уравнением прямой в пространстве: где– координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой,– параметр.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве и называется каноническим уравнением прямой в пространстве: где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой.

Определение. Каноническое уравнение прямой вида – называетсяканоническим уравнением прямой, проходящей через две раз­личные данные точки

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Возможны 4 случая расположения двух прямых в пространстве. Прямые могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

Теорема. Пусть даны канонические уравнения двух прямых:

где – их направляющие векторы,– произвольные фиксированные точки, лежащие на прямыхсоответственно. Тогда:

и ;

и не выполняется хотя бы одно из равенств

;

, т.е.

4) прямые скрещивающиеся, если , т.е.

Теорема. Пусть

– две произвольные прямые в пространстве, заданные параметрическими уравнениями. Тогда:

1) если система уравнений

имеет единственное решение то прямые пересекаются в одной точке;

2) если система уравнений не имеет решений, то прямые скрещивающиеся или параллельные.

3) если система уравнений имеет более одного решения, то прямые совпадают.

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

Теорема. (Формула расстояния между двумя параллельными прямыми.): Расстояние между двумя параллельными прямыми

Где – их общий направляющий вектор,– точки на этих прямых, можно вычислить по формуле:

или

Теорема. (Формула расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.): Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

можно вычислить по формуле:

где – модуль смешанного произведения направляющих векторовии вектора,– модуль векторного произведения направляющих векторов.

Теорема. Пусть – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Тогда следующая система уравнений является уравнением прямой линии, по которой пересекаются эти плоскости:. Направляющим вектором этой прямой может служить вектор, где,– нормальные векторы данных плоскостей.

Теорема. Пусть дано каноническое уравнение прямой: , где . Тогда следующая система уравнений является уравнением данной прямой, заданной пересечением двух плоскостей:.

Теорема. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую имеет видгде – координаты векторного произведения,– координаты направляющего вектора данной прямой. Длину перпендикуляра можно найти по формуле:

Теорема. Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых имеет вид: где.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Возможны три случая взаимного расположения прямой в пространстве и плоскости:

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая задана каноническим или параметрическим уравнениямиили, где вектор – нормальный вектор плоскости– координаты произвольной фиксированной точки прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора прямой. Тогда:

1) если , то прямаяпересекает плоскостьв точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

2) если и, то прямая лежит на плоскости;

3) если и, то прямая параллельна плоскости.

Следствие. Если система (*) имеет единственное решение, то прямая пересекается с плоскостью; если система (*) не имеет решений, то прямая параллельная плоскости; если система (*) имеет бесконечно много решений, то прямая лежит на плоскости.

Решение типовых задач.

Задача №1 :

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам

Найдём нормальный вектор искомой плоскости:

= =

В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор тогда общее уравнение плоскости примет вид:

Чтобы найти , нужно заменить в этом уравнениикоординатами точки, принадлежащей плоскости.

Задача №2 :

Две грани куба лежат на плоскостях иВычислить объём этого куба.

Очевидно, что плоскости параллельны. Длиной ребра куба является расстояние между плоскостями. Выберем на первой плоскости произвольную точку: пустьнайдём.

Найдём расстояние между плоскостями как расстояние от точки до второй плоскости:

Итак, объём куба равен ()

Задача №3 :

Найти угол между гранями ипирамидыc вершинами

Угол между плоскостями – это угол между нормальными векторами к этим плоскостям. Найдём нормальный векторплоскости:[,];

, или

Аналогично

Задача №4 :

Составить каноническое уравнение прямой .

Итак,

Вектор иперпендикулярны прямой, поэтому,

Итак, каноническое уравнение прямой примет вид .

Задача №5 :

Найти расстояние между прямыми

и .

Прямые параллельны, т.к. их направляющие векторы иравны. Пусть точкапринадлежит первой прямой,a точка лежит на второй прямой. Найдём площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

[,];

Искомым расстоянием является высота параллелограмма, опущенная из точки :

Задача №6 :

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:

Покажем, что прямые скрещивающиеся, т.е. векторы ,ине принадлежат одной плоскости:≠ 0.

1 способ:

Через вторую прямую проведём плоскость , параллельную первой прямой. Для искомой плоскости известны принадлежащие ей векторыии точка. Нормальный векторплоскостиесть векторное произведение векторови, поэтому.

Итак, в качестве нормального вектора плоскости можно взять векторпоэтому уравнение плоскости примет вид:зная, что точкапринадлежит плоскостинайдёми запишем уравнение:

Искомое расстояние – это расстояние от точки первой прямой до плоскостии находится по формуле:

13.

2 способ:

На векторах ,ипостроим параллелепипед.

Искомое расстояние – это высота параллелепипеда, опущенная из точки , на его основание, построенного на векторахи.

Ответ: 13 единиц.

Задача №7 :

Найти проекцию точки на плоскость

Нормальный вектор плоскости является направляющий вектором прямой:

Найдём точку пересечения прямой

и плоскости:

.

Подставив в уравнение плоскости, найдём, а затем

Замечание. Чтобы найти точку , симметричную точкеотносительно плоскости, нужно (аналогично предыдущей задаче) найти проекциюточкина плоскость, затем рассмотреть отрезокс известными началоми серединой, воспользовавшись формулами,,.

Задача №8 :

Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

1 способ:

2 способ:

Задачу решим вторым способом:

Плоскость перпендикулярна заданной прямой, поэтому направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости. Зная нормальный вектор плоскости и точку на плоскости, запишем её уравнение:

Найдём точку пересечения плоскости и прямой, записанной параметрически:

,

Составим уравнение прямой проходящей через точки и:

.

Ответ: .

Таким же способом можно решить и следующие задачи:

Задача №9 :

Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой .

Задача №10 :

Дан треугольник с вершинами Найти, уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону.

Ход решения совершенно аналогичен предыдущим задачам.

Ответ: .

Задача №11 :

Найти уравнение общего перпендикуляра к двум прямым: .

0.

Учитывая, что плоскость проходит через точку, запишем уравнение этой плоскости:

Точка принадлежит, поэтому уравнение плоскостипримет вид:.

Ответ:

Задача №12 :

Составить уравнение прямой проходящей через точку и пересекающей прямые .

Первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор; вторая – проходит через точкуи имеет направляющий вектор

Покажем, что эти прямые являются скрещивающимися, для этого составим определитель, строки которого являются координатами векторов ,,,векторы не принадлежат одной плоскости.

Проведём плоскость через точкуи первую прямую:

Пусть – произвольная точка плоскоститогда векторы,икомпланарны. Уравнение плоскостиимеет вид:.

Аналогично составим уравнение плоскости , проходящей через точкуи вторую прямую:0.

Искомая прямая есть пересечение плоскостей , т.е..

Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.

Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует такой плоскости, в которой они обе лежат.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой и носкости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и плоскости.

Свойства плоскости и прямой, параллельной плоскости:

1) если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

2) если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым.

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Свойства прямой, перпендикулярной плоскости.

1) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости;

2) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.

На рисунке 1 прямая b − наклонная к плоскости, прямая c - проекция этой наклонной на плоскость и поскольку а ┴ с , то a ┴ b

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. На рисунке 2 прямая b - наклонная к плоскости, прямая a - проекция этой наклонной на плоскость, α - угол между этой наклонной и плоскостью.

Двугранный угол образуется в результате пересечения двух плоскостей. Прямая, полученная в результате пересечения двух плоскостей, называется ребром двугранного угла. Две полуплоскости с общим ребром называются гранями двугранного угла.

Полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит двугранный угол на два равных угла, называется биссекторной плоскостью.

Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.

Призма

Многогранник, две грани которого равные n - угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n -угольной призмой.

Два n - угольника являются основаниями призмы, параллелограммы - боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер - вершинами призмы.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.

Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 3).

Наклонной призмой называется призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований (рис.4).

Объем и площадь поверхности призмы высотыhнаходят по формулам:

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно вычислить по формуле .

Объем и площадь поверхности наклонной призмы (рис. 4) можно вычислить также иначе: где ΔPNK - сечение, перпендикулярное ребру l.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Параллелепипедом называется призма, все грани которой - параллелограммы.

Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d ² = a ² + b ² + c ², где a,b,c- длины ребер, выходящих из одной вершины, d - диагональ параллелепипеда (рис. 3).

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле V = abc.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба - квадраты.

Объем, площадь поверхности и диагональ куба с ребромa находят по формулам:

V = a ³, S = 6a ² d ² = 3a ².

Пирамида

Многогранник, одна грань которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники - боковыми гранями.

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.

Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.

Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

Например, на рисунке 5 изображена правильная треугольная пирамида SABC (тетраэдр):AB = BC = AC = a , OD = r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , OA =R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC , SO =h - высота

пирамиды, SD = l- апофема, - уголнаклона бокового

ребра SA к плоскости основания, - уголнаклонабоковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.

Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Объем пирамиды и площадь ее поверхности находят по формулам:

Где h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле , где - апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называется многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Объем усеченной пирамидынаходят по формуле , где и - площади оснований, h - высота усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани − правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.

Если у правильного многогранника грани - правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр (он имеет 4 грани), правильный октаэдр (он имеет 8 граней), правильный икосаэдр (он имеет 20 граней).

Если у правильного многогранника грани - квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром (он имеет 6 граней).

Если у правильного многогранника грани - правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром (он имеет 12 граней).

Цилиндр

Цилиндром называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке 6 прямая - ось вращения; - высота, l - образующая; ABCD - осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а вокруг стороны . Объем и площадь поверхности цилиндра находят по формулам:

, , , , где R- радиус основания, h - высота,l - образующая цилиндра.

Конус

Конусом называется фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. На рисунке 7 прямая OB - ось вращения; OB = h - высота, l - образующая;ΔABC - осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB .

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пусть даны точки A(x 1 ;y 1) и B(x 2 ;y 2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ;y 1) и B(x 2 ;y 2) имеет вид:

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O x (у 2 -у 1 =0) или оси O у (х 2 -х 1 =0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у 1 или х=х 1

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 =1 получим:
откуда или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

Каноническое уравнение прямой:

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy . Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a , если - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a .

Пусть - плавающая точка прямой a . Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты (при необходимости смотрите статьюнахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек на плоскости определяют прямую, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .

Если и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy . Уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде .

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку , а - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

· если - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку , так и через точку , то ее каноническое уравнение можно записать как , так и ;

· если - направляющий вектор прямой, то любой из векторов также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде соответствует этой прямой.

Параметрические уравнения прямой:

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

Пусть произвольная точка . Тогда векторы и являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число , что . Из равенства векторов и следует равенство их координат:

Ч.т.д.

Обратно, пусть точка . Тогда и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е. и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяюткоординаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Нормальное уравнение плоскости:

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

(нормальное уравнение плоскости ).

– расстояние от начала координат до плоскости, , , – направляющие косинусы нормали

где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак перед дробью противоположен знаку свободного члена в (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

Общее уравнение плоскости, исследование общего уравнения плоскости:

Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz , то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x , y и z , которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.

Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A , B , C и D .

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А , В , С и D .

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А , В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство . Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида эквивалентное исходному уравнению . Теперь, если мы докажем, что уравнение определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . Иными словами, координаты плавающей точки удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и . Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку . Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координатOxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: . Приняв , уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана. (при определенных значениях чисел А , В , С и D ), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.

Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz . Этой плоскости соответствует уравнение , так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение определяет в заданной системе координат Oxyz множество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.

Уравнение плоскости в отрезках:

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz .

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках . Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору: Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M (x 0 , y 0 , z 0) перпендикулярно данному вектору →n = {A , B , C } .

Решение. Пусть P (x , y , z ) - произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор
MP = {x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 } ортогонален вектору →n = {A , B , C } (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (→n , MP ) = 0 в координатной форме, получим.

40. Основные понятия стереометрии.

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. На рисунке 116 изображены различные фигуры в

пространстве. Объединение нескольких геометрических фигур в пространстве есть тоже геометрическая фигура, на рисунке 117 фигура состоит из двух тетраэдров.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами:

На рисунке 118 изображены плоскость а, прямые а и и точки А, В и С. Про точку А и прямую а говорят, что они лежат в плоскости а или принадлежат ей. Про точки В и С и прямую 6, что они не лежат в плоскости а или не принадлежат ей.

Введение основной геометрической фигуры - плоскости заставляет расширить систему аксиом. Перечислим аксиомы, которые выражают основные свойства плоскостей в пространстве. Эти аксиомы обозначены в пособии буквой С.

Си Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 118 точка А принадлежит плоскости а, а точки В и С не принадлежат ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

На рисунке 119 две различные плоскости а и Р имеют общую точку А, а значит, по аксиоме существует прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а. Плоскости а и в этом случае называются пересекающимися по прямой а.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 120 изображены две различные прямые а и имеющие общую точку О, а значит, по аксиоме существует плоскость а, содержащая прямые а и При этом по той же аксиоме плоскость а единственная.

Эти три аксиомы дополняют рассмотренные в главе I аксиомы планиметрии. Все они вместе являются системой аксиом геометрии.

Пользуясь этими аксиомами, можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Т.2.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Т.2.2. Если две точкй прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Т.2.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пример 1. Дана плоскость а. Доказать, что существует прямая, не лежащая в плоскости а и пересекающая ее.

Решение. Возьмем в плоскости а точку А, что можно сделать по аксиоме Си По той же аксиоме существует точка В, которая плоскости а не принадлежит. Через точки А и В можно провести прямую (аксиома ). Прямая не лежит в плоскости а и пересекает ее (в точке А).